在正四棱锥V-ABCD中,AB=2,VA与底面ABCD成的角为60°,试问V

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/19 16:31:59
在正四棱锥V-ABCD中,AB=2,VA与底面ABCD成的角为60°,试问VB上是否存在一

点E，使VC垂直AE？最好用空间坐标系来做。有追加分！！

如下图所示，以底面中心O为原点,建立图示坐标系O-XYZ,则V(0,0,√6),A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),设VB存在点E(x,y,z),使VC⊥AE. ∵ VC=(-1,1,-√6),AE=(x-1,y+1,z)(略去字母上的向量记号), 

VC*AE=0, ∴ (-1,1,-√6),AE=(x-1,y+1,z)=x-y+√6z-2=0…(*). 

又点E在VB上, ∴ VE=λ*EB,即(x,y,z-√6)=λ(1-x,1-y,-z),解得x=y=λ/(1+λ),z=√6/(1+λ),把它们代入(*)式,得λ=2. ∴ x=y=2/3,z=√6/3, 即VB存在点E(2/3,2/3,√6/3),使VC⊥AE.