三角形ABC中，角BAC为45度，AD垂直于BC于D，BD=6,CD=4,求AD的长

设AD与CE交于M点，
M为三角形ABC的垂心，
连结BM并延长交AC于F点，
则BF垂直AC，
三角形BMD与三角形BCF相似，有：
MD/CF＝BM/BC（式1）。
三角形BMD与三角形ACD相似，有：
MD/DC＝BD/AD（式2）。
同时，因角BAC=45度，则有角ABF＝45度，
而三角形BME与三角形CMF相似，角MCF也为45度，则
2倍的CF平方＝MC平方＝MD平方+DC平方＝MD平方+16，
BM平方＝MD平方+BD平方＝MD平方+36。
将（式1）两端均平方得
MD平方/CF平方＝BM平方/BC平方（式3），
将CF平方与BM平方代入（式3），得
MD平方的平方－148MD平方+576＝0
配方，移项，得
(MD平方－74)的平方＝4900
MD平方＝144或MD平方＝4，解得MD＝12或2
将MD＝12代入（式2）得AD＝2，明显不合理，舍去。
将MD＝2代入（式2）得AD＝12。
所以答案为AD＝12

楼主不妨尝试一下这个作法，呵呵，我看还算简单

作BD⊥AC于E，交AD与F
△AEF≌△BEC
∴AF=BC=10
△BDF∽△ADC
DF/BD=CD/AD
即DF/6=4/(10+DF)
DF=2
AD=12

作CE垂直AB于E
因角BAC为45度,
三角形AEC为等腰直角三角形
AE=EC
设AE=EC=x
BE=y,则AB=AE+BE=x+y

直角三角形ABD相似于直角三角形CBE
AB/BC=BD/BE
(x+y)/(6+4)=6/y
x+y=60/y
x=(60/y)-y

而:BE^2+EC^2=BC^2
y^2+x^2=(6+4)^2
y^2+((60/y)-y)^2=100
y^4-110y^2+18