高二均值不等式，请求高手！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 16:13:35
已知x+y=1,x,y属于正实数
求证：（根号x+根号y）（1/（根号2*x+1）+1/（根号2*y+1））小于等于2

(x^(1/2)+y^(1/2))*(1/(2x+1)^(1/2)+1/(2y+1)^(1/2))
=x^(1/2)*1/(2x+1)^(1/2)+x^(1/2)*1/(2y+1)^(1/2)
+y^(1/2)*1/(2y+1)^(1/2)+y^(1/2)*1/(2x+1)^(1/2)
<=(x+1/(2x+1)+x+1/(2y+1)+y+1/(2x+1)+y+1/(2y+1))/2
(x^(1/2)+y^(1/2))*(1/(2x+1)^(1/2)+1/(2y+1)^(1/2))<=x+1/(2x+1)+y+1/(2y+1) (a)
当且仅当x=1/(2x+1)=y=1/(2y+1)上式中的等号成立
又x,y属于正实数，此时x=y=1/2
代人(a）得 (x^(1/2)+y^(1/2))*(1/(2x+1)^(1/2)+1/(2y+1)^(1/2))<=2