已知a,b∈(0,1),求证: |logb(1-a)|＞|logb（1+a+a^2+...+a^2008）|.

a,b∈(0,1)
所以logb(1-a)>0
logb（1+a+a^2+...+a^2008）=logb(1-a^2009)/（1-a）
因为a,b∈(0,1)
所以a^2009<a
所以(1-a^2009)/（1-a）>1
所以logb(1-a^2009)/（1-a）<0
所以|logb（1+a+a^2+...+a^2008）|=-logb(1-a^2009)/（1-a）
=logb（1-a）/(1-a^2009)

而1/(1-a^2009)>1
(1-a)<（1-a）/(1-a^2009)
因为0<b<1
所以函数f(x)=logbx是单减函数
所以logb(1-a)>logb（1-a）/(1-a^2009)
即: |logb(1-a)|＞|logb（1+a+a^2+...+a^2008）|.

b<1,1-a<1，则logb(1-a)>0
1+a+a^2+...+a^2008>1,
则logb(1+a+a^2+...+a^2008)<0
所以|logb(1+a+a^2+...+a^2008)|=logb[(1+a+a^2+...+a^2008)^(-1)]
原式就转化成证明(1-a)<(1+a+a^2+...+a^2008)^(-1)
因为(1-a)*(1+a+a^2+...+a^2008)=-(a-1)*(1+a+a^2+...+a^2008)=-(a^2009-1)=1-a^2009<1
所以（1-a）<(1+a+a^2+...+a^2008)^(-1)
原式得证。。