已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(k,0)(k<0),B(3,0)两点,与y轴正半轴交于点C,且OC=3OA.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/03 04:25:09
(1)求此抛物线的关系式；（系数中可含有字母k）
(2)设点D（0，t）在x轴的下方，点E在抛物线上，若四边形ADEC为平行四边形，试求t与k的函数关系式；
（3）题（2）中的平行四边形ADEC能否为矩形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。

解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-k)(x-3)
又 OC=3OA,即x=0时,y=-3k,(k<0)
即-3k=a*(-k)*(-3),a=-1
所以y=-(x-k)(x-3)=-x^2+(3+k)x-3k
(2)四边形ADEC为平行四边形,所以AC//DE,即
直线DE的斜率=tg∠CAO=3,且DE^2=AC^2=10k^2
所以直线DE的方程为y-t=3(x-0),即y=3x+t
设E点坐标为(n,3n+t)
则3n+t=-(n-k)(n-3)...............(1)
且DE^2=(3n+t-t)^2+(n-0)^2=10k^2
所以n=-k或n=k
n=k时,代入(1)可知t=-3k>0(不合题意,舍去)
n=-k时,代入(1)可知t=-2k^2-3k..........(2)
E点坐标为(-k,-3k+t)
(3)若ADEC为矩形,则AE=CD
即(-3k+t)^2+(-k-k)^2=(-3k-t)^2........(3)
由(2)(3)可知t=-5/9,k=3t=-5/3
D点坐标为(0,-5/9)

① ∵OC=-3K
∴C=-3K
∴解析式为y=ax²+bx-3k
把A(k，0）B（3，0）代入解析式得
ak²+bk-3k=0 ①
9a+3b-3k=0 ②
①×3-②×k得
3ak²-9ak-9k+3k²=0
3ak（k-3）+3k（k-3）=0
∵k<0
∴k-3≠0
∴a=-1
b=k+3
∴解析式为y=-x²+（k+3）x-3k
② 过E点向y轴做垂线，垂足为F
∵ADEC为平行四边形
∴△AOD≌△EFC
∴FC=OD=-t EF=AO=-k
∴E(-k，-3k+t）
把E点坐标代入解析式中得
t=-2k