高中数列题目 自认为很难

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 12:22:17
我做出来了 但方法很繁琐 希望有高手来简单方法 详细的
｛An}和｛Bn}满足 Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)÷（1+2+3+4+...+n)
(1)求证若｛Bn}为等差数列则｛An}为等差数列
（2） （1）的逆命题也成立
此题为某省著名原创题 闲杂人等 别看哈
谁有我满意的答案我给他100分 别势利眼哈 3楼的中间出错了

证明：
｛Bn}为等差数列
不妨设：Bn=B1+(n-1)d
由题意：
Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)
(1+2+3+4+...+n) Bn=a1+2a2+…+nan
(1+2+3+4+...+n+n+1)B(n+1)
=a1+2a2+…+nan+(n+1)a(n+1) ,相减得：
(1+2+3+4+...+n)d+(n+1)B(n+1)=(n+1)a(n+1)
nd/2+B(n+1)=a(n+1)=nd/2+B1+nd
∴a(n+1)=B1+3n/2*d
an=B1+3d*(n-1)/2 ,为等差数列。

（2）也很简单：
｛An}为等差数列
设：An=A1+b
(1+2+…+n)a(n+1)-(a1+2a2+…+nan)
=nb+2(n-1)b+3(n-2)d+…+nb
=b[n*1+(n-1)*2+…+1*n]
=b[(n+2n+…+n*n)-(1*2+2*3+…+(n-1)*n]
=b[(n^3+n^2)/2-(2n^3-3n^2+n)/6-(n^2-n)/2]
=bn(n+1)(n+2)/6 ，①

Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)

B(n+1)=(1+2+3+4+...+n)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
[(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)]
+(n+1)a(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)

相减得：B(n+1)-Bn
=-(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)[(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)]
+(n+1)a(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
=(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
*[(1+2+3+4+...+n