UC知道问个三角函数题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 17:10:09
已知在三角形ABC中，向量a=（√5sin[(A+B)/2]/2,COS[(A-B)/2]),向量a的模为3√2/4
1）求tanA·tanB
2)当角C最大时，设|向量AB|=2c，求满足条件|MA|，|AB|，|MB|成等差数列的动点M与顶点C的距离的最大值
第一问我会，得到1/9， 问题是第二问2√10c/3是怎么得到的
1）求tanA·tanB
2)当角C最大时，设|向量AB|=2c，求满足条件|MA|，|AB|，|MB|成等差数列的动点M与顶点C的距离的最大值
第一问我会，得到1/9， 问题是第二问2√10c/3是怎么得到的
|MA|+|MB|=2|AB|=4c，这是一个椭圆。以AB为x轴，其中垂线为y轴建立坐标系，则椭圆方程为x^2/4c^2+y^2/3c^2=1 。要C最大，且tanA·tanB =1/9＞0，定有A、B都是锐角。另外，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(9/8)(tanA+tanB)＞0，知（A+B)仍为锐角，从而（A+B)越小C就越大。又tanA+tanB≥2√[(tanAtanB)]=2/3，由三角函数性质知当tanAtanB=2/3时，C最大 。又由tanA+tanB=2/3且tanA·tanB =1/9，可解得tanA=tanB=1/3。知三角形ABC为等腰三角形，从而点C的坐标可设为（0，c/3）。动点M(x,y)与顶点C(0,c/3)的距离的平方d^2=x^2+（y-c/3）^2= 4c^2-（4y^2）/3+（y-c/3）^2=-y^2/3-2cy/3+37c^2/9，（-√3c≤y≤√3c）。所以，y=-c时，d^2的最大值为40c^2/9。即动点M与顶点C的距离的最大值为2√10c/3。
|MA|+|MB|=2|AB|=4c
这是一个椭圆 以AB为x轴，其中垂线为y轴
则椭圆方程为x^2/4c^2+y^2/3c=1
tanC=tan(180-A-B)
=-tan(A+B)
=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)=(-9/8)(tanA+tanB)
又tanA+tanB>=2√(tanAtanB)=2/3
由三角函数性质知当tanAtanB=2/3时，C最大
此时tanC=-9/8*2/3=-3/4.....好纠结