如何画正十七边形

无知无畏

巩昂

1796年3月30日．在德国格丁根大学校园里，一位18岁的青年学生吃完晚饭后，照例做导师每天布置给他的3道数学题。这个学生很有数学天赋，导师对他寄予了厚望，因此，在他完成固定作业之外．还会多给他布置几道较难的题。一般情况下，这个学生会在3个小时内．把所有作业完成。
这一天，他像往常一样，不到3个小时，就把固定作业做完了。可是，在多布置的题中，最后一题写在一张小纸条上，要求用圆规和一把没有刻度的直尺，画出正十七边形。学生也没有特别在意，只是埋头做题。几个小时过去了，却找不到解答方法。他想：也许是导师看到我每次做题都很顺利，就故意给我增加了一些难度吧。越是困难，他越想把这道题攻克。他拿着圆规和直尺，一边画一边想着各种可能的思路，一直持续到天亮。最后，这道题终于被解开了。
学生拿着自己的作业，来到导师办公室。他内疚地对导师说：“您给我布置的最后一道题，我做了整整一个通宵才解答出来。对不起，我辜负了您对我的期望。”导师接过他的作业一看，惊呆了，问道：“这是你昨天晚上做出来的?”“是啊。可是我很笨，竟然花了整整一个晚上的时间。”
导师让学生坐下，取出圆规和直尺，让他当面在纸上再画一个正十七边形。学生很快就画了出来。这时，导师激动地说：“你知道吗?你解开了一个有两千多年历史的数学悬案。这道题，阿基米得没有做出，牛顿没有解出。你竟然在一个晚上就把它解答出来了!你真是个天才。我也正在研究这道题目，昨天给你留题时，我一不小心把写这道题目的小纸条夹在了给你布置的作业里。”
很多年后，这个学生回忆起那件事情时，总是说：“如果有人告诉我那是一道两千年没有解开的题目，我不可能在一个晚上把它解决。”这个学生就是数学王子高斯。

有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
（这一步，大家会画吧？）
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)