当x→x0，证明极限sinx=sinx0

主要是用到结论：|sinx|≤|x|

|sinx-sinx0|＝|2cos((x+x0)/2)sin((x-x0)/2)|≤2|sin((x-x0)/2)|≤2|(x-x0)/2|＝|x-x0|

对于任意的正数ε，要使得|sinx-sinx0|＜ε，只要|x-x0|＜ε，所以取δ＝ε，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|sinx-sinx0|＜ε

所以由函数极限的定义，lim(x→x0) sinx＝sinx0

令f(x)=sinx-x
f`(x)=cosx-1<0 函数单调递减
对于f(|x-x0|)=sin|x-x0|-|x-x0|<f(0)
sin|x-x0|<|x-x0| 既2(sin|x-x0|/2)*(cos|x-x0|/2)<|x-x0|
又|sinx-sinx0|=2|sin(x-x0)/2cos(x+x0)/2|
很显然sin(x-x0)/2<=sin|x-x0|/2 cos(x+x0)/2<cos|x-x0|/2
故|sinx-sinx0|<2(sin|x-x0|/2)*(cos|x-x0|/2)<|x-x0|
既|sinx-sinx0|<|x-x0|
故对于任意|sinx-sinx0|<a 只要|x-x0|<a即可成立
命题得证

x0=x+t
x→x0时
t→0:
lim(sinx-sin(x+t))
=lim[sinx-sinxcost-cosxsint]
=lim[sinx(1-cost)-cosxsint]
=sinxlim(1-cost)-cosxlimsint(为有限值）
=sinx(1-1)-cosx*0
=0