【高一数学】平面向量的一个问题》》》
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/08/23 08:28:50
以下的OA,OB,OC皆为向量
在三角形ABC中,O为中线AM上的一个懂点,若AM=2,则OA·(OB+OC)的最小值是_________________.
写出全过程和答案,谢谢!
在三角形ABC中,O为中线AM上的一个懂点,若AM=2,则OA·(OB+OC)的最小值是_________________.
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∵OB+OC=2OM,∴OA·(OB+OC)=OA·2OM.
设|OM|=x,x∈[0,2],且向量OA与向量OM方向相反,
∴OA·2OM=-2(2-x)x=2x^2-4x=2(x-1)^2-2,
当x=1时,有最小值-2,所以,最小值-2.
根据OB和OC做平行四边形OBNC。
则向量ON=向量OB+向量OC。
在平行四边形OBNC里,向量ON=2倍OM,且向量ON与向量OA反向。
向量OA*(向量OB+向量OC)=向量OA*向量ON=OA*ON*COS(180度)=-OA*ON
设OA=x,om=2-x,on=4-2x。
上式=x*(4-2x)
因为原式为负值。所以要求x*(4-2x)的最大值。x=1,x*(4-2x)=2。
所以原题所求最小值为-2。
2AM=AB+AC=2AO+OB+OC
OA·(OB+OC)
=OA·2(AM-AO)
=-2│OA││AM│+2│OA│²
=-4│OA│+2│OA│²
=-2+2(│OA│-1)²
最小值是-2