【高一数学】平面向量的一个问题》》》

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/23 08:28:50
以下的OA,OB,OC皆为向量
在三角形ABC中，O为中线AM上的一个懂点，若AM=2，则OA·（OB+OC）的最小值是_________________.

写出全过程和答案，谢谢！

∵OB+OC=2OM，∴OA·（OB+OC）=OA·2OM.
设|OM|=x，x∈[0,2],且向量OA与向量OM方向相反，
∴OA·2OM=-2(2-x)x=2x^2-4x=2(x-1)^2-2，
当x=1时，有最小值-2，所以，最小值-2.

根据OB和OC做平行四边形OBNC。
则向量ON=向量OB+向量OC。
在平行四边形OBNC里，向量ON=2倍OM，且向量ON与向量OA反向。
向量OA*(向量OB+向量OC)=向量OA*向量ON=OA*ON*COS(180度)=-OA*ON
设OA=x，om=2-x，on=4-2x。
上式=x*(4-2x)
因为原式为负值。所以要求x*(4-2x)的最大值。x=1，x*(4-2x)=2。
所以原题所求最小值为-2。

2AM=AB+AC=2AO+OB+OC
OA·（OB+OC）
=OA·2（AM-AO）
=-2│OA││AM│+2│OA│²
=-4│OA│+2│OA│²
=-2+2(│OA│-1)²

最小值是-2