UC知道高二数学椭圆一题，求助。
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 01:54:53
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B(2,0)
C（1，3/2）三点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当三角形DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标。
（3）若直线l:y=k（x-1）（k不等于0）与椭圆E交于M、N两点，试证明直线AM与BN的交点在直线x=4上。
此题无图，要详细过程及答案。
谢谢！紧急。
C（1，3/2）三点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当三角形DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标。
（3）若直线l:y=k（x-1）（k不等于0）与椭圆E交于M、N两点，试证明直线AM与BN的交点在直线x=4上。
此题无图，要详细过程及答案。
谢谢！紧急。
1.显然A，B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时，设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上，解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时，设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
显然b=2
再由C在椭圆上，解之a²=3
显然不合题意
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1
2.设△DFH内切圆的半径为r,D的坐标为（m，n）
由面积相等得：
1/2(DF+FH+HD)r=1/2FH*|n|
由椭圆定义：DF+FH+HD=2a+2c为定值
故当|n|最大时，r最大
r=FH*|n|/(DF+FH+HD)=2*√3/6=√3/3
显然，当D在短轴顶点时r最大
此时△DFH为等腰三角形
故内切圆圆心在y轴上
这样内切圆圆心坐标为（0，±√3/3）
3.设M（x1，y1）N（x2，y2）
联立y=k（x-1）与x²/4+y²/3=1得：
3x²+4k²（x-1）²-12=0
整理得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理：
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM：y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN：y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标：
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M，N在l上
故：y1=k（x1-1）y2=k（x2-1）
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x