半径为2的圆内 求一个锐角△的最大面积

假设已经有了一个圆的内接三角形△ABC，设其中一条边AB=a，显然，它也是圆的一条弦
如图，若使△ABC为锐角三角形，则点C只能在劣弧DE上选取（其中O为圆心，BE,AF为圆的直径）
若使△ABC的面积最大，只能使C距离AB最远，显然此时OC⊥AB
故△ABC为等腰三角形
设∠OAB=α(0<α<π/2)
则AB=2rcosα，高h=r+rsinα
故△ABC的面积=1/2AB*h=rcosα*(r+rsinα)
=r²cosα(1+sinα)
=r²(cosα+sinαcosα）
令f(α）=cosα+sinαcosα
=cosα+1/2sin2α
f′(α)=-sinα+cos2α
=-2sin²α-sinα+1
令f′(α)>0
得：0<α<π/6
令f′(α)<0
得：π/6<α<π/2
故当α=π/6时，f(α）有最大值为f(π/6）=3√3/4
故△ABC的面积的最大值为3√3
图片在这http://hi.baidu.com/iamqinqiang/album/item/85f6f861fbb7a4fd8cb10d6f.html

首先要证明这个锐角三角形是等边三角形时面积最大。

取任意一边为底，bc为底，那么a到bc的距离即为高，最大时应在优弧的中点（直径最长定理），也就是说必须是等腰的，那么换一个底边也是如此，也得是等腰的，任意为底都得是等腰的，那么它一定是等边的。

面积就能算了吧