实数a 、 b 、 c ， 若a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2 求 ab+bc+ac的最小值

a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2
三式相加得:
2a^2+2b^2-2bc-2ac

ab+bc+ac≥-5/2

本题不能简单按照(a+b)^2≥0来做.因为a,b都是特定值.
a²+b²=1
b²+c²=2
a²+c²=2
解上面三式得:
a^2=1/2......a=±√2/2
b^2=1/2......b=±√2/2
c^2=3/2......c=±√6/2

(a+b+c)^2的最大值=(√2/2+√2/2+√6/2)^2=[(2√2+√6)/2]^2
不难解出此时ab+bc+ca=(1+√12)/2是最大值

(a+b+c)^2的最小值=(-√2/2-√2/2+√6/2)^2=[(-2√2+√6)/2]^2
不难解出此时ab+bc+ca=(1-√12)/2是最小值

如果单纯挑选ab.bc,ca的最小值代入,则
ab的最小值=-1/2
ab的最小值=-√12/4
ab的最小值=-√12/4

ab+ac+bc最小值=-(1-√12)/2
这样做不符合规则,所以
ab+bc+ca=(1-√12)/2是最小值

远远不是-5/2.

解：∵a²＋b²＝1，b²＋c²＝2，a²＋c²＝2
∴a²＝1/2，b²＝1/2，c²＝3/2
∴a＝b＝±√（1/2），c＝±√（3/2）
当a＝b＝√（1/2），c＝－√（3/2）或a＝b＝－√（1/2），c＝√（3/2）时
ab+bc+ac有最小值：
ab+bc+ac
＝1/2－√（3/4）－√（3/4）
＝1/2－√3/2－√3/2
＝1/2－√3