最大模定理

复变函数论中有关函数值的模的一个重要而有用的定理,断言解析函数的模在区域内部不能达到极大值,除非它是常数函数。这一原理可具体表述如下：设()为有界域内全纯并在[868-9]上连续的函数，以(,)表示|()|在的边界上的最大值，则在内恒有|()|<（,）,除非()是一常数，此时其模│()│≡(,)。
这个定理能由解析函数所实现的映射的拓扑性质得到直接的说明,即非常数的解析函数将开集映为开集;同样也能由分析的观点来证明，即根据柯西积分公式，函数()在域 内任一闭圆盘|-|≤的圆心之值等于它在圆周上积分值的算术平均数。由此可知非常数的全纯函数其模不能在 内取得最大值。这一原理在函数论中有着很广泛的应用，以这个定理为根据的证明都非常简明。
阿达马三圆定理 由最大模原理可以导出，非常数整函数()在圆||=上的最大模(,)是的增函数。J.（－S.）阿达马于1896年更进一步证明最大模的对数是[kg2]ln[kg2]的凸下增函数，这一结果被称为阿达马三圆定理。它可表述如下:设()在圆环≤｜｜≤上全纯,以(,)表示()在||=(=1,2,3)上的最大模，则对≤≤有
[868-3]或者改写为
[868-4]上式还说明()在圆环内任一同心圆上的最大模能由它在圆环内、外圆周上的最大模来控制。
波莱尔－卡拉西奥多里定理 关于全纯函数的最大模和其实部的最大值之间关系的一个定理。它首先由.波莱尔得到，后由C.卡拉西奥多里改进。如所知，一解析函数实质上由其实部所确定。由施瓦兹公式立即可以得到(,)的估计,它由其实部在较大的同心圆上的最大模和│(0)│所给出。应用最大模原理可以简捷地得到更精确的结果。
设()在||≤上全纯，以()表其实部在||=上之最大值，则有
[868-5]。值得注意的是上式()不是()的实部在││=上的最大模，这点在一些应用中（如整函数的研究中）有着重要的意义。
菲拉格芒－林德勒夫定理 最大模原理的重要推广。它由菲拉格芒、E.L.林德勒夫1908年得到，可叙述如下：设 是由原点出发的两条半直线之问的角域，其张角为(0<≤2),又设()在内及其边界直线上全纯,若在此两直线上有|()|≤,且在内满足[868-6]，式中[868-7]，则当││→∞时，在内恒有