用分析法、综合法分别来证明这道题！！！

分析法:由结论推到条件.
因为:
a+b/2≤√[（a^2+b^2/2)],a.b都是正数 ,两边平方得,
(a^2+b^2+2ab)/4≤(a^2+b^2)/2,
(a^2+b^2+2ab)≤2(a^2+b^2),
2ab≤a^2+b^2,
而,0≤(a-b)^2,只有仅当a=b时,取等号,不等式显然成立.
即有,
(a+b)/2≤√[（a^2+b^2/2）],成立.

综合法:就是由已知条件,推到结论.
因为:
a.b都是正数,
(a-b)^2≥0,当且仅当a=b时,不等式取等号,不等式显然成立,
a^2+b^2≥2ab也成立,
在不等到式两边同时加上a^2+b^2得,
2(a^2+b^2)≥a^2+b^2+2ab,成立,
在不等式的两边同时除以4得,
(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4,成立,
两边同时开平方根得,
√[(a^2+b^2)/2]≥√[(a+b)^2/4]=(a+b)/2,成立,
即有,(a+b)/2≤√[（a^2+b^2/2）],成立.
原不等式成立,得证.

[(a+b)/2]²=（a²+2ab+b²）/4，
[（a²+b²）/2的平方根]²=（a²+b²）/2。
（a²+2ab+b²）/4-（a²+b²）/2=-1/4（a-b)²≤0。
所以(a+b)/2≤（a²+b²）/2的平方根。