导数部分

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 20:16:36
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x＝0处取得极值，曲线y＝f(x)过原点O（0, 0）和点P(－1, 2)，若曲线y=f(x)在P处的切线l与直线y＝2x的夹角为45°，且l的倾角为钝角。
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若y=f(x)在区间 [2m－1, m+1] 上是增函数，求m的取值范围.

谢谢过程

(Ⅰ)
f'(x)=3ax^2+2bx+c

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x＝0处取得极值 -> f'(0)=c=0 ......(1)

曲线y＝f(x)过原点O（0, 0）和点P(－1, 2)
-> 0=d;......(2)
2=-a+b-c+d ......(3)

曲线y=f(x)在P处的切线l与直线y＝2x的夹角为45°，且l的倾角为钝角
->[(3a-2b+c-2)-2]/[1+2*(3a-2b+c-2)]=1 ......(4)

由(1)、(2)、(3)、(4)
解得：a=3, b=5, c=0, d=0

所以，f(x)=3x^3+5x^2

(Ⅱ)f'(x)=9x^2+10x>=0
解得：x>=0 或 x<=-10/9
所以，2m－1>=0 或 m+1<=-10/9
解得，m>=1/2 或 m<=-19/9