已知矩形ABCD内接于半径为1的圆

1:因为矩形的对角线为圆的直径,大小为2
矩形的对角线把矩形分为2个三角形,矩形面积=矩形的对角线*对角线上的高

不管矩形是什么样的形状,对角线大小不变,但当矩形为正方形的时候,对角线上的高最大,是为圆的半径,大小为1

所以矩形面积的最大值 为2

2:矩形的边的特点:长为a,宽为b,则a^2+b^2=2^2=4
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab
a+b=√(4+2ab)
周长=2(a+b)=2√(4+2ab)

因为矩形的面积=ab
所以当矩形ABCD的面积最大的时候,矩形ABCD的周长也最大

最大周长=2√(4+2ab)=2√(4+2*2)=4√2

证明：设矩形ABCD的对角线的交点为O,则
OA=OB=OC=OD=AC/2=BD/2
所以O点为圆心，即AC、BD为直径
所以∠APC=∠BPD=∏/2
PA^2+PC^2=AC^2=4r^2
PB^2+PD^2=BD^2=4r^2
PA^2+PC^2+PB^2+PD^2=8r^2

(1)当矩形为正方形时面积最大.面积为2
(2)不是,当矩形非常扁平时,面积趋向于4