求等差等比数列通项公式的常用方法

1）归纳-猜想-证明法
由数列的公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明.
例1设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________.(2000年全国数学卷第15题)
解:将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0.由于an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an.因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),….猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之。
2）“逐差法”和“积商法”
当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子:
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)， 且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”.
3）构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解.
（4）公式法
用等差，等比公式做。

（1）观察归纳法
这个方法需要学生很强的反应能力！
比如 21，203，2005，20007```这个你能很快看出来吗 ？
（2）累差法和累商法（我们书本教材上叫做迭加和迭乘，具体书本上有我就不多说了）
形如：已知a1，且a(n+1)-an=f(n)
已知a1，且a(n+1)/an=f(n)
（3）构造法
这个方法最难，不过把握技巧后无论什么题目都是迎刃而解
形如：已知a1,a(n+1)=pan+q的形式就可构造，即配成a(n+1)+x=p(an+x) 当然中间减号也是一样！
例题，数列满足a1=1