求证BN/BP=AC/BM

在三角形ABC中，角BAC=90度，BM平分角ABC交AC于M，以A为园心，AM为半径作园A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交园A于P，K两点，作MT垂直BC于T
1。求证AK=TM
1。求证AD垂直BC
3。当AK=BD时，求证BN/BP=AC/BM

解:
(1)依题意,得
∠BAC=∠MTB=90
BM是∠ABC平分线
∴∠ABM=∠MBT
∴∠AMB=∠TMB
又∵BM=BM
∴△BAM≌△BMT
∴TM=AM=R

∵K在圆A上
∴AK=R
∴AK=TM

(2)
连接NT
∵△BAM≌△BMT
∴NT=MT=AM=AN=R
∴∠TMN=∠TNM=∠ANM
∴AD‖MT
∵MT⊥BC
∴AD⊥BC

(3)
∵BNM和BPK为⊙A的割线，
∴BN•BM＝BP•BK，
∴ BN/BP=BK/BM

∵AK＝BD，AK＝MT，
∴BD＝MT
∵AD⊥BC，MT⊥BC，
∴∠ADB＝∠MTC＝90°，
∴∠C＋∠CMT＝90°
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠CMT

在△ABD和△CMT中，
∠ABD=∠CMT
∠ADB=∠CTM
BD=MT

∴△ABD≌△CMT，
∴AB＝MC
∵AK＝AM，
∴AB＋AK＝MC＋AM，
即BK＝AC
∴BN/BP=AC/BM

1，2。
AK也是圆的半径，AK=AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN
BM平分∠ABC，MA⊥AB，MT⊥TB得出
∴MA=MT，∠BMA=∠BMT，
∴AK=TM，∠ANM=∠BMT
∴AD‖MT
又∵MT⊥BC，
∴AD⊥BC

3。
∵AD‖MT
∴∠DAC=∠TMC，
又∵∠BAC=∠ADB=90。
∴∠ABD=∠DAC，
∴∠ABD=∠CMT
又∵TM=AK=BD