高数铲雪车建模

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除雪机模型
在我国的北方，冬天常会突降大雪。路上如堆满了雪，便要影响交通，需要用除雪机来清扫。现有一条10公里的长街，每当路面平均积雪0.5米时，就需除雪机清扫。在开始除雪时，往往天空仍在下雪。这样雪的厚度慢慢增加，除雪机工作的速度慢慢下降，以至无法工作了。
问除雪机能否完成这10公里长路程的除雪任务呢？
假设以下的几个条件是我们已知的：
（1）在除雪机开始扫雪后，总共下了一个小时的雪；
（2）下雪的速度是可变的，但下得最大时地面上雪的厚度增加量为每秒0.1厘米；
（3）当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作；
（4）在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为每秒10米。
分析 容易看出，雪下的大小直接影响除雪机的工作程度。为简单计，假定除雪机工作速度V的减少与积雪厚度 成正比。于是由假设条件（3）、（4）可得如下的公式：
设 ，当 时， ，又 ，所以 ，
故 ， 即 （4.1-1）
其中速度V的单位是米/秒，雪的厚度 的单位是米，且 。
由初始条件 米，可以马上求得除雪机开始清扫的速度 米。
下面我们根据假设除雪机开始时下雪速度是常量还是变量这两种情况来分别建立模型。
模型I
假设下雪速度保持不变，记做 （厘米/秒）。到 秒末雪的厚度就要增加 厘米= 米。于是 秒末雪的厚度变成
（米） （4.1-2）
由（4.1-1）、（4.1-2）可得 （4.1-3）
这时除雪机行驶的距离S为

= （4.1-4）
当V=0时意味着除雪机停止工作，由（4.1-3）可求得