帮我解道数学题急急急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/27 15:20:54
在公式（a+1）的平方=a的平方+2a+1中，当a分别取1，2，...，n时，可得下列n个等式：
（1+1）的平方=1的平方+2*1+1；
（2+1）的平方=2的平方+2*2+1；
（n+1）的平方=n的平方+2*n+1
将这n个等式左右两边分别相加，可推导得计算1+2+...+n的公式，请写出该公式和公式的推理过程。
做出详细解题与答案赏30积分

2^2=1^2+2*1+1
3^2=2^2+2*2+1
4^2=3^2+2*3+1
...
(n+1)^2=n^2+2*n+1

将这n个等式左右两边分别相加:
[2^2+3^2+4^2+...n^2]+(n+1)^2=1^2+ [2^2+3^2+...+n^2] +2*(1+2+...+n)+1*n
(n+1)^2=1+n+2*(1+2+...+n)

2(1+2+...+n)=(n+1)^2-(n+1)=n*(n+1)
1+2+...+n=n*(n+1)/2

自己想

这个简单 左边=2^2+3^2+…………（n+1）^2
右边=1^2+2^2+………n^2+2(1+……n)+n =1+2^2+…………n^2+n(n+1)+n
两边同时消去 2^2+3^2……n^2 得到
左边=（n+1）^2=右边=1+n(n+1)+n=n^2+2n+1

将这n个等式左右两边分别相加,
左边=(1+1)^2+(2+1)^2+……+(n+1)^2
=2^2+3^2+……+(n+1)^2
右边=1^2+2^2+3^2+……+n^2+2*1+2*2+2*3+……+2*n+n*1
=1^2+2^2+3^2+……+n^2+2*(1+2+3+……+n)+n
=1^2+2^2+3^2+……+n^2+2*(1+2+3+……+n)+n

左边=右边
即

2^2+3^2+……+(n+1)^2
=1^2+2^2+3^2+……+n^2+2*(1+2+3+……+n)+n
移项，消去相同的项
(n+1)^2-1^2-n=2*(1+2+3+……+n)
(n+1)^2-1-n=2*(1+2+3+……+n)
2*(1+2+3+……+n)
=(n+1)^2-1-n
=(n+1)^2-(n+1)
=(n+1)(n+1-1)
=n(n+1)

所以
1+2+3+……+n
=n(n+1)/2