几道高中不等式的题

1题：
x^2-xy+y^2=x^2+xy+y^2-2xy=3-2xy
所以只需求出xy的取值范围。
根据x^2+y^2>=2|xy|,代入x^2+xy+y^2=3中，得到：
3-xy>=2|xy|
所以：xy-3<=2xy<=3-xy
即：-3<=xy<=1 1<=3-2xy<=9
所以x^2-xy+y^2最小值为1，最大值为9。

2题：
令a=A，b^2=B,c^3=C,则：A、B、C都是正数。
只需求max min{1/A,1/B,1/C,A+B+C}
不妨设A>=B>=C，则：1/A<=1/B<=1/C
那么：min{1/A,1/B,1/C,A+B+C}=min{1/A,A+B+C}
又因为：A+B+C<=A+A+A=3A
所以：min{1/A,A+B+C}<=min{1/A,3A}
若1/A>=3A,即：A<=√3/3
min{1/A,3A}=3A<=√3
若1/A<3A,即：A>√3/3
min{1/A,3A}=1/A<√3
综上：min{1/A,3A}<=√3
所以：max min{1/A,1/B,1/C,A+B+C}=√3，当且仅当A=B=C=√3/3取到最大值√3。

3题：
设外接圆圆心为O
那么∠AOB=2∠C，∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B

那么S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA
=(1/2)(R^2)sin2C+(1/2)(R^2)sin2A+(1/2)(R^2)sin2B
=(1/2)(sin2C+sin2A+sin2B)
=(1/2)[2sin(A+C)cos(C-A)+2sinBcosB]
=(1/2)[2sinBcos(C-A)+2sinBcosB]
=sinB[cos(C-A)+cos(B)]
=2sinBcos[(C-A+B)/2]co