已知abc都是正整数,且a+b+c=1求证:(1-a)(1-b)(1-C) ≥8abc

∵a>0,b>0,c>0
∴a+b>2*√a*b
b+c>2*√b*c
a+c>*√a*c
而，1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b
∴(1-a)(1-b)(1-c)
= (b+c)(a+c)(a+b)
>=(2*√b*c)*(2*√a*c)*(2*√a*b)
= 8abc

a+b+c=1
所以1-a=b+c
1-b=c+a
1-c=a+b

abc都是正整数
所以由均值不等式
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
a+b>=2√ab
相乘
(b+c)(c+a)(a+b)>=8abc
当a=b=c时取等号
所以(1-a)(1-b)(1-c)>=8abc

∵abc都是正整数
∴a+b>=2*√a*b
b+c>=2*√b*c
a+c>=*√a*c

而因为a+b+c=1
所以
1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b
故
(1-a)(1-b)(1-c)
= (b+c)(a+c)(a+b)
>=(2*√b*c)*(2*√a*c)*(2*√a*b)
= 8abc

把不等式左边的1用a+b+c代换
（1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2*（bc)^(1/2)*2*(ac)^(1/2)*2*(ab)^(1/2)=8abc
【(bc)^(1/2)是bc的开方的意思】

a>0,b>0,c>0
所以 a+b>2*√a*b
b+c>2*√b*c
a+c>*√a*c
而，1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b