高数--多元函数极限

这题要用重积分做,设球方程为x^2+y^2+z^2≤r^2,
定球面方程为x^2+y^2+(z-a)^2=a^2.,
则其交面在xoy面上的投影为x^2+y^2≤r^2*(1-(r/2a)^2).
此时r必须满足r<2a.才能使前者夹在定球内部.
球的上表面方程为z=√(r^2-x^2-y^2),
z'x=-x/√(r^2-x^2-y^2)
z'y=-y/√(r^2-x^2-y^2)
故前者夹在定球内部的表面积为:
S=∫∫D ds =∫∫D√(1+(z'x)^2+(z'y)^2)dο
(区域D:x^2+y^2≤r^2*(1-(r/2a)^2).)
解得S=Пr^2*(2- r/a),而又0<r<2a,
最后转化成求最值问题,用A-G不等式:
S=4Пa^2*(r/2a)*(r/2a)*(2-r/a)≤4Пa^2*(2/3)^3=32Пa^2/27.
当且仅当r/2a=2-r/a,即r=4a/3时,等号成立.

3重积分吧 用球面坐标 做