精确奥数题

1
1,前k项的和记为sk 对于s1,s2,s3...sn中如果有一个被n整除那么直接成立，否则除以n的余数只能是1,2...n-1所以必然有两个数除以n余数相等设为si,sj(i<j)
则sj-si能被n整除 而sj-si=a(i+1)+a(i+2)+...+aj是连续若干个数的和 。至此结论成立
2
（ab+bc+ca)x=3abc+bc(b+c)+ab(a+b)+ac(a+c)=bc(a+b+c)+ab(a+b+c)+ca(a+b+c) (这里就是把3abc分成3个加到后面3项中）=(ab+bc+ca)(a+b+c)
所以x=a+b+c。 完毕。

3
设这2007个数字是a1,a2,.......,a2007
做序列a1,a1+a2,a1+a2+a3,........,a1+...+a2007
则这个序列里有2007个数
再分类讨论
1.如果，这个序列里有一个数a1+...an是2007的倍数，那么命题就对了。
2.如果，这2007个数字里没有2007的倍数，那么必定有两个数除以2007后余数是一样的。
这是因为，首先余数都不为0（因为不是2007的倍数）
所以，余数都是1，。。2006中的数字，但是有2007个余数，所以，必定有两个余数是一样的
那么这两个余数一样的数字做差，就得到am+...an是2007的倍数

1,前k项的和记为sk 对于s1,s2,s3...sn中如果有一个被n整除那么直接成立，否则除以n的余数只能是1,2...n-1所以必然有两个数除以n余数相等设为si,sj(i<j)
则sj-si能被n整除 而sj-si=a(i+1)+a(i+2)+...+aj是连续若干个数的和 。至此结论成立

2，（ab+bc+ca)x=3abc+bc(b+c)+ab(a+b)+ac(a+c)=bc(a+b+c)+ab(a+b+c)+ca(a+b+c) (这里就是把3abc分成3个加到后面3项中）=(ab+bc+ca)(a+b+c)
所以x=a+b+c。 完毕。

3，就是第一题的特