没有结婚登记，但死者办后事的费用都是我承担的，能继承丧葬费吗？

应该不可以，除非你是法定继承人，且在继承顺序中。别的财产也得不到。当然，你也无义务为他还债。但是，你可以向他的继承人索要照顾他的补偿。[请查阅最高人民法院关于婚姻法的解释]

你们都没有法定关系，你到哪去继承什么葬费和抚恤金呀
还有就是你们都生活4年了，而且他还有病，你图他什么呀？
到他死后你一分钱也拿不到，还白白浪费自己4年的青春和时间

从法律上来说，不行。
他有没有立遗嘱之类的？
没有遗嘱就不好办了。