UC知道50分求解一道高三双曲线数学题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 04:27:21
原题：已知F1,F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左，右焦点，P为双曲线左支上任一点，若|PF2|^2/|PF1|的最小值为8a,求双曲线的离心率范围。（要详细的过程，采纳加50。）
由定义知：｜PF2｜—｜PF1｜＝2a
|PF2|=2a+|PF1|
|PF2|^2/|PF1|=(2a+|PF1|)^2/|PF1|
=4a^2/|PF1|+ 4a+ |PF1|≥8a
当且仅当 4a^2/|PF1|=|PF1|,即 ｜PF1｜＝2a时取得等号
设P(x0,y0) (x0≤-a)
依焦半径公式得：
｜PF1｜＝-e*x0-a=2a
e*x0=-2a
e=-3a/x0≤3, 又双曲线的 e>1
故：e属于(1,3]
设PF1=x PF2=y
y=x+2a |PF2|^2/|PF1=x+4a+4*a^2/x
>=4a+2*2a=8a
均值不等式
x=2a
焦半径公式x=-e*x0-a
e=3a/-x0
-x0>=a
1<e<=3