根据实数m的不同取值，探究函数f(x)=2+√4-x^2与y=x+m图像的交点个数

解：易知，函数f(x)=2+√(4-x^2)的图像即是圆心为点(0,2)，半径为2的圆的上半部（包括端点）。而斜率为1的直线与其交点的个数有三种情况：（1）无交点。数形结合知，此时有m<0,或m>2+2√2.即无交点时，实数m的取值范围是（-∞，0)∪（2+2√2,+∞).(2)仅有一个交点。数形结合知，此时实数m的取值范围是[0,4)∪{2+2√2}.(3)有两个交点。数形结合知，此时实数m的取值范围是[4,2+2√2).

y=f(x)=2+√4-x^2
显然为圆方程 轨迹线为 圆的一半
(y-2)^2+x^2=4
圆轨迹线的上半部分
从而可以假设为
x=cos(t)
y=2+sin(t)
t取值范围为
〔0 180〕
那么
y=x+m 交点 满足
2+sin(t)=cos(t) +m
方程有解
那么
m-2=√2 cos(45-t)
求解这个方程就行了