数学狂人请解疑！

设P2分别为取到红球的概率

则容易知，
n=0 即取放之前 P(0)=1
n=1, 此时两种情况
1） 黑球在甲中, 此时又有两情况， 黑球一直在甲中，概率为2/3
黑球被先取到乙，再又从乙到甲，概率为1/9 P(1)=2/3+1/9=7/9
2) 黑球在乙中， 概率为 P2(1) = 2/9
n=2
此时也有两种情况
1） 开始时黑球在甲中， 所以此时的情况与n=1时开始的情况一样
所以 概率为P(1)*（7/9）
2) 开始时黑球在乙中，可以想象一下，此时也就相当于把甲乙的角色变换一下而已 概率为 P2(1)*（2/9）=（1-P(1))*(2/9)
所以 P(2) = P(1)*（7/9）+（1-P(1))*(2/9)

3) 由此可推导
P(n) = P(n-1)*(7/9)+（1-P(n-1))*(2/9)
(可用数学归纳法证明）

P(2) = P(1)*（7/9）+（1-P(1))*(2/9)
= P(1)*(5/9)+2/9

P(3) = P(2)*(7/9)+（1-P(2))*(2/9)
= P(2)*(5/9) +2/9
= P(1)*(5/9)^2 + (5/9)*(2/9) +2/9
P(4) = P(3)*(5/9) +2/9
= P(1)*(5/9)^3+(5/9)^2*(2/9)+(5/9)*(2/9)+(2/9)
....

P(n) = P(1)*(5/9)^(n-1) + (5/9)^(n-2)*(2/9)+(5/9)^(n-3)*(2/9)
+... +(5/9)*(2/9)+(2/9)
=