关于数列求和的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 02:06:09
已知{An}是等比数列,A2=2;A5=1/4,求A1A2+A2A3+A3A4+……AnA（n+1）
答案是32（1-4^-n）/2
要详细的过程 还有方法的名称 谢谢啊～～～

解：由已知的两项易得出q=1/2,A1=4.运用等比数列通项公式，可列出：
A1A2=(A1^2)q
A2A3=(A1^2)q^3
A3A4=(A1^2)q^5
……
AnA(n+1)=(A1^2)q^(2n-1)
将这些式子相加(即“列项求和法”）得：
A1A2+A2A3+A3A4+……+AnA(n+1)＝（A1^2)q+(A1^2)q^3+……+(A1^2)q^(2n-1)
＝（A1^2)[q+q^3+……+q^(2n-1)]（中括号里是首项q，公比q^2的等比数列前n项求和）
＝（A1^2)[q(1-q^2n）/(1-q^2)](中括号中是运用求和公式所得的首项q，公比q^2的等比数列的和）
＝（A1^2){(1/2)[(1-(1/2)^2n]/[1-(1/2)^2)]}(再将A1=4代入，并整理）
＝16[1-4^(-n)](将此式乘2并除以2就可得到下一步的结果）
＝32[1-4^(-n)]/2
解毕

a1=4 a1=2....an=4*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-3) an*a(n+1)=(1/2)^(n-3)*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(2n-5)

A1A2+A2A3+A3A4+……AnA（n+1）
=4*2+2*1/2+1/2*1/4....+(1/2)^(n-3)*(1/2)^(n-2)
=16-(1/2)^(2n-1)=32（1-4^-n）/2