一个据说是以前中考的几何证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/22 08:20:49
在正方形ABCD中,A1在BA的延长线上,C1在BC上,且AA1=CC1,A1E角BAC1的角平分线,EF垂直于A1C1。
（1）AB，A1C1，EF之间的关系，并证明。
（2）当A1F=3，FC1=2时，求BD的长

麻烦说详细一点

[1]，两角平分线BD与AF交于F，显然F点是等腰RtΔABC的内心，EF是等腰RtΔABC的内切圆半径，则
EF=(BC+AB-AC)/2，<==> EF=AB-AC/2,<==> EF+AC/2=AB.

[2]，同样F1是RtΔA1BC1的内心，E1F1是RtΔA1BC1的内切圆半径。
注意到:BA1+BC1=2AB，所以 E1F1=(BA1+BC1-A1C1)/2，
E1F1+A1C1/2=AB。

[3]设CC1=AA1=x,AB=BC=a，则BA1=a+x，BC1=a-x。
注意E1点是RtΔA1BC1的内接圆与斜边A1C1的切点，[这个理解吗？]
则 6=(BA1+A1C1-BC1)/2，<==> 12=a+x+10-a+x，<==> x=1，
或 4=(BC1+A1C1-BA1)/2,<==> 8=a-x+10-a-x, <==> x=1
再由勾股定理求得:
(a+1)^2+(a-1)^2=(4+6)^2
<==> a^2=49,<==> a=7=，所以BD=7√2。