若a,b ∈R,且a+b=1,求证(a+2)^2+(b+2)^2≥25/2

(a+2)²+(b+2)²=a²+b²+4(a+b)+8=a²+b²+12≥(a+b)²/2+12=25/2

根据柯西不等式，
((a+2)^2+(b+2)^2)(1+1)>=((a+2)+(b+2))^2=(a+b+4)^2=5^2=25
所以(a+2)^2+(b+2)^2≥25/2，并且等号当a=b=1/2时取得。

(a+2)^2+(b+2)^2=a^2+b^2+4(a+b)+8
=(a+b)^2-2ab+12
=13-2ab
≥13-2〔(a+b)/2〕^2≥25/2

(a+2)^2+(b+2)^2≥25/2
(a+2)^2+(b+2)^2
=（a+2+b+2）^2-2（a+2）*（b+2）
=25-2*（ab+2（a+b）+4）
=13-2ab
令a=0.5-x b=0.5+x
2ab=2（0.5-x）（0.5+x）
=0.5-2x^2
带入上式
得12.5+2x^2
也就是只要证明12.5+2x^2≥25/2即可
移项的2x^2≥0
系需要证明2x^2≥0

因为2x^2≥0成立，即等式成立
证毕

b=1-a代入式子
化简得
2a^2-2a+13
设f(x)=2a^2-2a+13
求此二次函数最小值即为25/2