UC知道证明正交矩阵的保号性
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 01:00:55
设A为正交矩阵，且Y = AX， Y1 = AX1， Y2 = AX2
证明（Y1，Y2） = （X1， X2），
||Y|| = ||X||， （模相等）
<Y1, Y2> = <X1, X2>
请高手指点
顺便再帮我证几题
2. 若A可逆，则AB与BA相似
3. 若A为上三角且为正交矩阵，证明A必为对角矩阵，且对角线上元素只能为1或-1.
4. 设A为n阶实对称矩阵，证明存在实数c，对一切X属于Rn，有X^TAX <= cX^TX.
证明（Y1，Y2） = （X1， X2），
||Y|| = ||X||， （模相等）
<Y1, Y2> = <X1, X2>
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2. 若A可逆，则AB与BA相似
3. 若A为上三角且为正交矩阵，证明A必为对角矩阵，且对角线上元素只能为1或-1.
4. 设A为n阶实对称矩阵，证明存在实数c，对一切X属于Rn，有X^TAX <= cX^TX.
简单的说一下
设X1=（a1,a2,……an）（x1,x2,……,xn)T
a是一组正交基
则AX1=A（a1,a2,……an）（x1,x2,……,xn)T
其中A（a1,a2,……an）看成另一组基，当然也是正交的(两个正交矩阵的积）
X2和AX2也用同样的两组基来表示，用（y1,y1,……,yn)
在正交基下（X1，X2）=x1*y1+x2*y2+……+xn*y2=(Y1，Y2)
在用这个结论证明||Y|| = ||X||，只需取X1=X2。
就证到这儿。
再整一个
2、AB=ABAA-1=A(BA)A-1，得证。
4、A可正交对角化，A=P^TBP，B为对角矩阵，对角线元素为x1,……,xn，P^TP=E.
X^TAX=X^TP^TBPX=(PX)^TB(PX)
cX^TX=cX^TP^TPX=c(PX)^T(PX)
设PX=（b1,b2,……,bn)^T
X^TAX=x1*b1^2+x2*b2^2+……+xn*bn^2
cX^TX=cb1^2+cb2^2+……+cbn^2
显然只要c>=max{x1,x2,……,xn}就行了。
3、归纳法
给张照片，将就着看
加分！
