几何求证：四边形各边中点连线构成正方形，则该四边形也是正方形

如题。如果有一个四边形，把它各边中点用线段连起来，这些线段构成正方形，那么这个四边形是正方形。
注意：对角线垂直且相等不能判断它是一个什么图形；对角线平分的四边形是平行四边形；对角线垂直的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形；既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

任何一个对角线相等且垂直的四边形的四个边的中点连线，都可以构成正方形，但原对角线没有互相平分的条件，所以原四边形不一定是正方形。

所以这个命题是个假命题，谁要是能证明，只能说他是悖论高手，呵呵。

将原四边形两条对角线相连；
其与相邻的两边构成两个三角形；
则可以看出，连接各边中点所成的正方形的两相邻边为它们的中位线。
于是“这两条中位线垂直且相等”
则原四边形两对角线相等且互相垂直平分。
则该四边形也是正方形

先证引理：对于平面上的任意一个凸四边形，其各边中点用线段连起来，这些线段一定构成平行四边形。
（已知四边形ABCD为平面上的四边形，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA中点）
连接AC，得到三角形ABC和三角形ACD
则在三角形ABC中，E，F分别为边AB，BC中点
故线段EF为三角形ABC中位线，所以EF平行于AC
同理可得线段GH为三角形ACD中位线，所以GH平行于AC
故EF平行于GH
同理，连接BD，便可证EH平行于FG
综上，四边形EFGH为平行四边形
再利用引理证明上述命题：
通过引理的证明方法，当四边形EFGH为正方形时
有EF垂直于FG，所以AC垂直于BD
又由EF=FG得AC=BD
所以对于四边形ABCD，有AC垂直于BD，AC=BD
但无法证明AC与BD互相平分
故原命题不成立，但当四边形ABCD的对角线相等且互相垂直时其各边中点连线所形成的图形为正方形。

原四边形不一定是正方形

证明：

   

    貌似只要对角线垂直且相等就可以，不一定要正方形