已知ABC是非零整数,且A+B+C=1.求证根号下3A+1+根号下3B+1+根号下3C+1小于等与3倍根号下2

先证引理：a+b+c<=根号下3*(a^2+b^2+c^2),
上式平方得 a^2+b^2+c^2+2ab+abc+2ac<=3a^2+3b^2+3c^2
由于2ab<=a^2+b^2,2bc<=b^2+c^2,2ac<=a^2+c^2,相加可得：
2ab+abc+2ac<=2a^2+2b^2+2c^2，即
a^2+b^2+c^2+2ab+abc+2ac<=3a^2+3b^2+3c^2
故a+b+c<=根号下3*(a^2+b^2+c^)成立
故
根号下3A+1+根号下3B+1+根号下3C+1<=根号下3*[(3A+1)+(2B+1)+(3C+1)]
=根号下3*[3(A+B+C)+3]=根号下18=3根号下2
证毕

由不等式的性质得
根号下3A+1+根号下3B+1+根号下3C+1≤3根号(((3A+1)+(3B+1)+(3C+1)/3) =3根号[3 (A+B+C)+3]/3=3根号2

由题易得A<1,B<1,C<1,所以3A加1<4，3B加1<4，3C加1<4=根号下2，所以得证