I would rather you _____(stay)at home

（have）stayed

我情愿你是在家呆着，可是你事实上不在家。所以虚拟。

than stay。
would rather than 是一个固定搭配、 意思是宁可...

would rather (to) do

本来是有to 的，但是在这里要省略，属于固定表达，需要记得。

答案是stay

stay
这里用省略to的不定式

stayed/to stay(前者用的是从句,后者为TO不定式,下面有对从句的说明)
would rather后可跟从句，表示主语宁愿让某人干某事。这时，从句谓语动词要用虚拟语气，即用一般过去时表示过去现在或将来要做的事；用过去完成时表示过去要做的事。如 ：

(1) I’d rather she set out to do the work now.

我宁愿她现在就着手做这项工作。

(2) I’d rather you met her at the airport tomorrow morning.

我但愿你明天早上能在机场见到她。

(3) I’d rather you hadn’t told him the news that day.

我真希望你那天没有把那消息告诉他。

这是宾语从句，答案是（to）stay
我们老师刚教的