UC知道积分与导数的意义
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 18:53:55
一个函数F(x)的导数是f(x)
f(x)的积分是F(x)
我已知道：
F(x)的导数的意义 是函数在某一点的切线的斜率(可以用极限证明)
但 f(x)的积分为函数与x轴围成的面积 我不能理解为什么？
那位高手能给个证明方法或思路
(雪山大黑狼 - 助理 二级 2009-6-20 13:34)
(pinghuang_sh - 高级经理 六级 2009-6-20 13:26)
我知道求不规则图形的面积是分割成极小的dx 再求和
已知：一个函数F(x)的导数是f(x),则f(x)的积分是F(x)，这是书上的公式
求：为啥f(x)的积分在某一点的值F(x0) 为函数f(x)在x从x0到0之间与x轴围成的面积？
两位是答非所问
(瘗鹤 - 江湖新秀 四级 2009-6-20 13:4)
请大家搞清楚我问的是什么？
我要的是理解积分（一个数学名称）为啥是函数的面积
不要跟我说 “就这样理解吧 积分就是和的极限 ，不需要再理解了 就跟苹果熟了就要从树上掉下来一样”
(shenqi41271 - 进士出身 九级 2009-6-20 14:04)
大哥 我要问的就是 ： f(x)Δx的无限叠加，为啥就是f(x)的积分（积分 一个数学名词）。
>>>>请大家理解我的意思再回答 不要灌水<<<<
面积是什么？是选定f(x)这个图形的一个边或顶点，沿坐标轴方向向另一边叠加。
怎么叠加？是一堆宽度极小的近似矩形的面积叠加。
不妨设这个面积沿x轴叠加，把这个面积看成关于x的函数。
那两个相邻x值（相差一个极小值Δx）对应的面积的变化量是什么？就是两个相
邻面积的差，就是差一个宽度为极小值Δx的近似矩形的面积。
矩形面积是什么？就是高度f(x)乘以宽度Δx。
也就是f(x)的面积是f(x)Δx的无限叠加，就是f(x)的积分。
因为F(x) = x² 等于∫2tdt从0积到x，后面这个积分中表示2tdt表示高为2t宽度为微小值dt的近似矩形面积。从0积到x就是把曲线y=2t下面的近似矩形的面积从t=0开始到t=x结束叠加起来，就是y=2t在0到x之间的与x轴围成的面积，t是自变量，也可以写成x
积分的定义就是这，好吧？ lim∑f(xi)Δxi = ∫f(x)dx
我楼主
我再大个比方：
已知 ： F(x)=x^2
则F(x)的导数假设为f(x) , 则f(x)=2x
（已经用求倒的方法证明,f(x)的值为F(x)在某一点的斜率)
求 ：为什么x取任意值时 F(x)的值为 函数f(x)在0到x之间与x轴围成的面积
你可以这样来理解：
1.积分。积分就是求一条曲线的面积。我们知道矩形的面积是底乘以高；而一条曲线在每一点上的值都不一样；怎么办？于是，我们可以将这条曲线分割成很多小单元，而每个小单元我们认为其值是一个定值；这样我们就可以计算曲线的面积了；当分割的单元越多时，这样的计算就越准确；
2.微分。分割成无穷的小单元的过程就是求导，即微分。所以微分的积分就是求 f(x)的积分为函数与x轴围成的面积。
微积分基本定理由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基