关于导数公式的推导

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/30 02:09:11
看这个里面的这句话http://baike.baidu.com/view/30958.htm

这个((x^n)'=nx^(n-1))的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

这句话是什么意思,为什么不能用定义直接证明?

哦，我觉得，可能编写词条的人这样考虑的：
这里面使用到了二项式定理。二项式定理中，n为整数，所以
((x^n)'=nx^(n-1))
lim((x+⊿x)^n-x^n)/⊿x
=(x^n+C(1,n)x^(n-1)*⊿x+C(2,n)x^(n-2)*⊿x^2+..-x^n)/⊿x
=C(1,n)x^(n-1)+C(2,n)x^(n-2)*⊿x+...
=nx^(n-1)+C(2,n)x^(n-2)*⊿x+...
当⊿x趋向0时，后面均为无穷小，所以
((x^n)'=nx^(n-1))

当n为整数是是成立的，n不为整数。（前面有组合数）。就需要另行讨论。

但是，其实，
二项式定理对于分数也是可以计算的。（无实际意义）在级数中经常用到
个人觉得可以推广到n为任意实数的一般情况

PS:组合数 (2,1/3)=1/3*(1/3-1)/(2*1)=-1/9
任然使用C(m，n）=P(m，n）/P(m，m）

个人见解。无严格证明

这个我知道！
y=x^n
两边同时取对数则
lny=nlnx
两边同时求导就要用y=e^x y’=e^x和y=lnx y’=1/x这两个结果
y’/y＝n/x
然后在把y移过去得
y’＝ny/x
再把y带进去
y’＝nx^n/x＝nx^(n-1)
其实用这种方法还可以求(1/x+1）^x这种函数的导数
书上的那个 y=a^x和y=logax 都可以这么求...
这个方法好象大学要学的..