以正方形的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-XYZ，点P在正方体的对角线AB上

应该是对角线AB1吧，找最小值时过定点做动点所在直线的垂线，就是最小距离
1.√5/2
2.3√2/4

解：设正方体边长为a，P(x1,x1,z1)，Q(x2,a,a)

如图，则ΔGP'P和ΔGEA相似，

∴GP‘/EG=P'P/AE，即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1

∴P(x1,x1,a-x1), 向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）

(1)，由题意得：PQ⊥AG，

此时，x1=a/2，向量PQ=(x2-a/2,a/2,a/2),向量AG=(a,a,-a)

∴向量PQ·向量AG=a(x2-a/2)=0

∴x2=a/2，向量PQ=(0,a/2,a/2)

∴|PQ|=√2 a/2

(2)，同理，PQ⊥CD，

此时x2=a/2，向量PQ=(a/2-x1,a-x1,x1)，向量DC=(a,0,0)

∴向量PQ·向量DC=a(a/2-x1)=0

∴x1=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)

∴|PQ|=√2 a/2

(3)，由题意，PQ为CD和AG的公垂线

由(1)、(2)得：当x1=x2=a/2时，能够成线段PQ

且PQ为CD和AG的公垂线

∴|PQ|=√2 a/2，为最小值

验证：向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1)，向量AG=(a,a,-a)，向量DC=(a,0,0)

PQ为CD和AG的公垂线

∴a(x2-x1)+a(a-x1)-ax1=0

a(x2-x1)=0

联立得：x1=x2=a/2