是所有的不定式做定于，动词后面一定都必须带介词么？

这取决于动词是否是及物动词。
比如：I must find a place to stay.
stay就不需要介词，因为是及物动词。

不是的，不及物动词后才加介词，及物动词就不加。
如a city to live in (live in the city );a city to visit (visit the city )

不一定，因为这时的sit是下一个不及物动词，后面不能直接接名词chair，所以要用介词on. 如I sent the house where I lived in.