两个矩阵相乘零矩阵，秩的关系

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 12:31:03
矩阵乘积AB=0(零矩阵)，A是m*n的，B是n*s的，证明r(A)+r(B)<=n，怎么证明？越详细越好

两种证明方法。
第一种是用分块矩阵乘法来证明。(不太好书写，可以见线性代数习题册答案集)；
第二种是线性方程组的解的关系来证明。
因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(A)，所以r(B)≤ n-r(A)，从而r(A)+r(B)<=n。