高分求微积分题（答对另有重赏）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 22:55:17
1、设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+1/4)+f(x-1/4) 的定义域是________?
2、函数f(x)=x3+2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________？
3、函数y=xsinx的导数为_________?
4、lim(x→0)(3x+sinx)/4x=______?

★第一题
欲使f(x+0.25)+f(x-0.25)有意义，必须使两个括号内的变量均在[0,1]
因此0≤x+0.25≤1、0≤x-0.25≤1，解得x∈[0.25,0.75]

★第二题
拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内具有导数，则在该区间内至少存在一点x(a<x<b)使等式f(b)-f(a)=(b-a)f'(x)
几何意义：自变量在[0,1]上时，存在至少1点，使该点处切线斜率与“区间两个端点形成的线段”斜率相等。

那么f(0)=0，f(1)=3，斜率为3，
对f(x)求导得f'(x)=3x^2 + 2，
令f'(x)=3得x=正负根号3 的倒数，那么在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的点有1个，是(1/根3 , 7/根号27)

★第三题
y=xsinx
y'=(x)' sinx + x (sinx)'
＝sinx + xcosx

★第四题
3x+sinx
-------
4x
上式在x趋于0时属于0/0未定式，根据罗必塔法则，求极限应上下同时求导，结果不变，得
3+cosx
------，x趋于0的解
4
很明显得极限为1