初三数学 绝对值 不等式

打了N久,最终答案:
三种常用方法:

*****绝对值不等式可以用讨论法去掉绝对值*****
：
a,b各可以分为<0和≥0两种情况,于是有四种情况:
1.当a<0,b<0时，原不等式可变为|b+2a|<|b+2a|，不成立

2.当a<0,b≥0时，原不等式可变为|b+2a|<|a-|a+b||,
这里再分两类:
当a+b>0时,不等式变为|b+2a|<b,这里又分类:若b+2a>0,则得a<0,成立;若b+2a≤0,则得b>-a,也成立
当a+b≤0时,不等式变为|b+2a|<|2a+b|,不成立

3.当a≥0,b<0时,原不等式可变为-b<|a-|a+b||
这里再分两类:
当a>=-b,不等式变为-b<|a-(a+b)|=-b,不成立;
当0≤a<-b时,不等式变为-b<|a-(-a-b)|=|2a+b|,这里又分类:若2a+b≥0,则得出a>-b,不成立.若2a+b<0,则得出a<0,也不成立.

4.当a≥0,b≥0时,原不等式可变为:b<b,不成立

综合上述情况知,a<0,b>0.

*****可以使用两边平方的方法去掉绝对值：*****

由||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,得：
[|a|-(a+b)]^2<[a-|a+b|]^2,即：a^2-2*|a|(a+b)+(a+b)^2<a^2-2a|a+b|+(a+b)^2
于是:|a|(a+b)>a|a+b|
若a=0或a+b=0,则上式两边相等,所以a≠0,且a+b≠0,|a||a+b|>0
所以上式两边同时除以|a||a+b|,得:
(a+b)/|a+b|>a/|a|,
因为(a+b)/|a+b|=1(a+b>0时)或-1(a+b<0时)，
a/|a|同理,于是