初中奥数完全平方数问题，求通解

我也是搞过竞赛的人，这是我当年做这类题的一些经验，分享一下
设y=m^2，m为非负整数
ax^2+bx+c-m^2=0
delta=b^2-4a(c-m^2)=n^2，n也为非负整数
n^2-4am^2=b^2-4ac
解这个方程的整数解就行，方法可能不尽相同，也有一些数论的技巧（例如整除性什么的）
(1)如果a<0，可以确定出m,n的范围，例如a=-3,b=2,c=9时
n^2+12m^2=112
n必为偶数，设为2k,则k^2+3m^2=28
可得3m^2<=28，m<=3
如果m=1,k=5，代回方程有x=2（x=-4/3舍去）
如果m=2，k=4，代回方程有x=-1（舍去另一根）
如果m=3，k=1，代回方程有x=0（舍去另一根）
(2)如果a>0,一般来说a是完全平方数，多半情况只能用整除的性质，例如a=49 b=220 c=284
196m^2-n^2=7264
(14m-n)(14m+n)=1*7264=2*3632=4*1816=8*908=16*454=32*227
分别令14m-n和14m+n为*左右的数，联立方程组，求出有整数解的就可以
求出m和n一定要带回去验证，因为前面用的delta条件只是必要条件，不是充要的。
如果a不是完全平方数那就麻烦一些，偶然性很大，解一般有无限多。不过我当年没见到过这样的题

-3x^2+2x+9=0
3x^2-2x-9=0
x^2-2x/3-9/2=0
x^2-2x/3+1/9-1/9-9/2=0
x^2-2x/3+1/9-83/9=0
(x-1/3)^2-83/9=0
(x-1/3+√83/3)(x-1/3-√83/3)=0
x=1/3-√83/3或x=1/3+√83/3

y=-3x^2+2x+9的值域中,最大值为28/3,9<28/3<10
所以y只能等于9,4,1
求出对应的x即可

这个我认为没有很通用的方法，一般都是枚举一些比较小的，然后用同余或者其他方法说明没有