代数证明题2道

1.已知：A,B,C,D为正有理数，且满足A的四此方+B的四次方+C的四次方+D的四次方=4ABCD.求证:A=B=C=D。

2.请看以下事实：
11-22=3的平方，1111-22=33的平方，111111-222=3333的平方，依次推下去你能得出什么结论？请证明你发现的结论。
额.
是11-2=3的平方

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0，所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d

11……1(2n个)-22……2(n个)=33……3(n个)的平方
11……1(2n个)=99……9(2n个)/9=(10^2n-1)/9
22……2(n个)=99……9(n个)*2/9=(10^n-1)*2/9
所以左边=(10^2n-1)/9-(10^n-1)*2/9
=(1/9)*(10^2n-1-2*10^n+2)
=(1/9)*(10^2n-2*10^n+1)
=(1/9)*(10^n-1)^2
=[(1/3)*(10^n-1)]^2
=[99……9(n个)/3]^2
=[33……3(n个)]^2=右边

1）
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
=(a^4+b^4-2a^2b^2)+(c^4+d^4-2c^2d^2)+(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd)
=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(ab-cd)^2
=0
a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd
所以，a=b=c=d

2)
2n个1-n个2=n个3的平方
设n=k时成立
则：n=k+1时
2(k+1)个1-（k+1）个2