高中奥赛数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 07:42:30
设f(n)是定义在所有正整数上且取正整数值的函数，对所有的正整数m,n有

f(f(m)+f(n))=m+n,求f(2008)的所有可能值

依题意可设f(n)=[tn] (n为正整数，t>0,[ ]为取整函数符）
由f(f(m)+f(n))=m+n可得
[t([tm]+[tn])]=m+n
[[t*tm]+[t*tn]]=m+n
[t*tm]+[t*tn]=m+n
t*t=1
t=1
所以f(n)=[tn]=n
f(2008)=2008.

2008或者-2008

2008

根据题意，函数一定是线性的。
所以猜测为，系数为整数的倍数或是分数均不成立 y=x

注：猜测出题人的心里，这道题肯定是2008年的题，既然为竞赛题就不可能很复杂，主要考的是思路。

一般这种题猜个很简单的数就行了~哈哈
比如，1，0，2008什么的~嘻嘻~