已知函数f(x)在R上是增函数,且实数a,b满足a+b≥0.求证:f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b).

1.因为a+b≥0，所以a≥-b,b≥-a
又因为这个函数是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)
所以f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b).得证
逆命题是：已知函数f(x)在R上是增函数,且f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b)则实数a,b满足a+b≥0
正确
理由：设a+b<0
那么a<-b,b<-a
则f(a)<f(－b),f(b)<f(－a)
可以得到f(a)+f(b)<f(－a)＋f(－b),和条件f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设不成立，那么a,b满足a+b≥0
即这个命题是真命题

∵a+b≥0，∴a≥-b。
∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)≥f(-b).
同理f(b)≥f(-a).两式相加得：
f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b).

因为a+b>=0
所以a>=-b;b>=-a
因为f(x)增
所以f(a)>=f(-b);f(b)>=f(-a)
所以f(a)+f(b)>=f(-a)+f(-b)

逆命题成立
反设a+b<0
则同上面的步骤可的f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) 矛盾