高三 数学 数学 请详细解答,谢谢! (6 20:52:52)

充要条件需要双向证明

就是
a+b=1可以推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0

同时
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 可以推出a+b=1

证明:
1)
如果a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0,那么
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b-1)*( a²-ab+b²)=0
已知ab≠0,那么a,b均不等于0
a²-ab+b²不等于0,只能a+b-1=0,也就是a+b=1.
即:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0是a+b=1的充分条件.
2)
如果a+b=1,那么
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)( a²-ab+b²)-( a²-ab+b²)
=(a+b-1)*( a²-ab+b²)
=0
即:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0是a+b=1的必要条件.

综合1),2)可知:
a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 .
证毕.

后者可化简为(a+b-1)(a^2-ab+b^2)=(a+b-1)((a-0.5b)^2+0.75b^2)=0
又ab不等于0则等式等价于a+b-1=0

a∧3+b∧3+ab-a∧2-b∧2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)
=(a+b-1)(a^2-ab+b^2)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]。
由此可知，因为a、b不为0，所以，若a+b=1，则有
(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0，
即a∧3+b∧3+ab-a∧2-b∧2=0，必要性获证。
反之，若a∧3+b∧3+ab-a∧2-b∧2=0 ，
即(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0，由于[(a-b/2)^2+3b^2/4]＞0,