UC知道一个函数的奇偶性问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 07:07:49
说非奇非偶,一定要有充分的理由,最好能举出反例,我猜想可能是周期为2的偶函数,但我不能证明它.
f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(10+x)，这说明10是f(x)的一个周期（不一定是最小周期）。也就是说只要这个函数他有一个周期是10那他就就能满足题目所给的要求。
我们知道函数的周期=最小正周期*n，所以也就是说要求的函数的最小正周期是小于10的且形式为10/n。
已知函数f(x)有两个对称轴，x=2和x=7，当n=5的时候函数的最小正周期就为2，已知x=2是对称轴，那么x=0就是对称轴了，所以当函数周期为2时他是偶函数。推而广之当n=5m（m为任意整数）的时候，函数的最小正周期为2/m，x=2移动m个周期就能到达x=0，综上，当函数最小正周期为2/m（m为任意整数）时，函数为偶函数。
下面考虑当最小正周期不为2/m时函数的奇偶性。
最小正周期不等于2/m，即是说x=0在一个周期内部（也就是x=0的左边有个对称轴右边有个对称轴，从左边那个对称轴到右边那个对称轴是一个最小正周期）。根据f（x）是周期函数，且他的一个最小正周期两端的轴都是对称轴，可以推得，f（x）的一个最小周期的函数图像必然是关于中轴对称的。所以这就直接否定了f（x）为奇函数的可能性（除非它是常函数）。
那有没有可能是偶函数呢？下面我们就来证明他也不可能是偶函数。
如果他是偶函数，那么只有下面这一种情况。如图，
T/2+T*n`=2这个式子要成立。其中T为最小正周期，把T=10/n带入得到，n=2.5+5*n`，其中n和n`都是非负整数，显然要上式是不可能成立的，也就是说最小正周期不等于2/m函数不可能为偶函数。
综上，当最小正周期不为2/m时函数非奇非偶。
