已知x1.x2.x3….xn∈（0，+无穷），且x1×x2×x3×….xn=1

数学归纳法:
1.n=1时,x1∈(0,+∞),且x1=1,则1+x1=2≥2^1=2,成立;
2.假设n=k(k∈N)时不等式成立,即
x1,x2,x3,…,xk∈(0,+∞),(即数列中的元素为正),且x1·x2·…·xk=1时,(1+x1)(2+x2)…(k+xk)≥2^k成立,设,(1+x1)(2+x2)…(k+xk)=A,那么
3.当n=k+1(k∈N)时,有x1,x2,x3,…,xk+1∈(0,+∞),且x1·x2·…·xk+1=1,则(1+x1)(2+x2)…[(k+1)+xk+1]=A[(k+1)+xk+1]≥2^k·[(k+1)+xk+1],其中,因k>1,xk+1>0,则(k+1)+xk+1>2,即A[(k+1)+xk+1]≥2^k·2=2^k+1成立
得证!